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\title{\heiti\zihao{2} 习题8.4}
\author{中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}

\begin{document}
\maketitle
\section{直径为 $4 \mathrm{~m}$ 的一球浸入水中,其球心在水平面下 $7 \mathrm{~m},$ 求球面所受的浮力.}
\textbf{解}\quad
浮力为$\rho_{液}gV_{排}$.套公式.

\section{一个直径为 $20 \mathrm{~m}$ 的半球形容器内盛满了水,设水的密度为 $\rho \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3},$ \\问把水抽尽需要
做多少功?}
\textbf{解}\quad
在水深 $x$ 处,有 $\mathrm{d} W=10^{3} \rho x \pi\left[20^{2}-(20-x)^{2}\right]$,
$$
W=\int_{0}^{20} \rho x \pi\left[20^{2}-(20-x)^{2}\right] \cdot 10^{3} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} \times 10^{8} \pi \rho(\mathrm{J})
$$

\section{一个圆柱形水池盛满水,设水的密度为 $\rho \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$, 已知其底面半径为 $2 \mathrm{~m},$ 高为 $4 \mathrm{~m},$ 问 将水抽尽需要做多少功? }
\textbf{解}\quad
在水深 $x$ 处,有 $\mathrm{d} W=\rho x \pi \cdot 2^{2}, W=\int_{0}^{4} 4 \pi \rho x \mathrm{~d} x=32 \pi \rho \times 10^{3}(\mathrm{~J})$.

\section{用铁针将一个铁针针入木板,设木板对铁针的阻力与铁针进入木板的深度成正比. 已 知第一针将铁针击人 $1 \mathrm{~cm},$ 如果每针所做的功相等,问第二针能将铁针击入多深?}
\textbf{解}\quad
设阻力为 $F=k x$,有 $W=\int_{0}^{1} k x \mathrm{~d} x=\frac{k}{2},$ 假设第二次针子进入到 $a \mathrm{~cm}$ 处, 则第二锤能将铁针击入 $d \mathrm{~cm}$,有
$$
W=\int_{1}^{a} k x \mathrm{~d} x=\frac{k}{2}, \quad a=\sqrt{2}, \quad d=\sqrt{2}-1
$$

\section{设一沿 $x$ 轴运动的物体所受的外力是 $\left|\cos \frac{\pi}{3} x\right|$ 牛,试问当此物体从 $x=1$ m 处移到 $x=2 \mathrm{~m}$ 处时外力所做的功.}
\textbf{解}\quad
$$
W=\int_{1}^{\frac{3}{2}} \cos \frac{\pi}{3} x \mathrm{~d} x+\int_{\frac{3}{2}}^{2}-\cos \frac{\pi}{3} x  \mathrm{~d} x=\frac{6-3\sqrt{3}}{\pi}
$$

\section{求质量为 $m$, 半径为 $R$,厚为 $h$ 的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量.}
\textbf{解}\quad
将圆盘看成由很多个薄圆环组成,取任意半径为 $r$,宽度为 $\mathrm{d} r$ 的薄圆环,其转动惯量 为 $\mathrm{d} J=r^{2} \mathrm{~d} m,$ 其中 $\mathrm{d} m$ 为薄圆环的质量. 由于 $\mathrm{d} m=\rho \mathrm{d} V=2 \pi r \rho h \mathrm{~d} r,$ 有圆盘的转动惯量可以表示为 $J=\int_{0}^{R} 2 \pi r^{3} \rho h \mathrm{~d} r=\frac{\pi R^{4} h \rho}{2},$ 由
于 $\rho=\frac{m}{\pi R^{2} h},$ 那么 $J=\frac{m R^{2}}{2}$.

可将圆柱视为圆盘的立体,如果质量均匀,则其形式不变.






\end{document}
\subsection{}
\textbf{解}\quad

\subsection{}
\textbf{证}\quad

\textbf{\textcolor{red}{注}}\quad